Bilangan Fibonacci dan Golden Ratio

Bilangan Fibonacci pertama kali dikemukakan oleh Leonardo da Pisa  yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200) dalam bukunya Liber Abaci, ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci. Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,10946...

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

                                Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci

Dalam barisan bilangan Fibonacci, perbandingan antara F_n+1 dengan F_n hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas (golden ratio)  yang nilainya mendekati 1,618. Semakin besar barisan bilangan fibonacci yang di bandingkan, maka nilainya akan semakin mendekati nilai golden ratio ini.

Penggunaan golden ratio banyak ditemukan dalam berbagai arsitektur, termasuk ukuran tubuh kita. Misalnya nilai golden ratio ini didapatkan pada perbandingan tinggi badan dengan dari ujung kepala sampai kaki dengan ukuran tinggi dari pusar sampai kaki. Perbandingan ukuran bahu sampai ujung jari dengan panjang siki sampai ujung jari juga mendapatkan hasil yang sama. 

Termasuk perbandingan jumlah lebah madu betina dan jantan dalam sebuah koloni juga memperoleh nilai golden ratio ini. 

Lukisan legendaris Monalisa karya dari seniman Leonardo Da Vinci juga menggunakan perbandingan emas ini. Bahkan dalam setiap karyanya, Da Vinci selalu menggunakan golden ratio sehingga golden ratio ini sering di sebut sebagai Da Vinci Code.

Gedung Parthenon yang sangat terkenal juga memakai perbandingan emas ini dalam pembuatannya.

Bahkan menariknya, dalam mengerjakan soal-soal Fisika nilai golden ratio ini juga dapat kita aplikasikan. Salah satunya adalah pada penyelesaian resistor tak hingga yang sudah pernah saya posting sebelumnya yaitu resistor dengan susunan sebagai berikut:

Untuk mencari nilai hambatan equivalennya, kita dapat menggunakan pola dari barisan fibonacci dan golden ratio dan ternyata memberikan hasil yang sama (sangat mendekati) dengan hasil yang didapatkan dengan perhitungan secara aljabar biasa. Silahkan di coba!!!